Statistiques de base

On souhaite comparer deux proportions observées

• les effectifs observés subissent des fluctuations d'échantillonnage

• sous la répartition des effectifs en lignes est identique d'une colonne à l'autre et vice-versa.

• Par exemple, sous égalité parfaite ( ) on observe :

Sous : égalité des répartitions en lignes / colonnes

• Les effectifs observés sont tels que les proportions diffèrent numériquement

• le test suppose la comparaison des effectifs observés et des effectifs sous

• comment obtenir les effectifs sous , i.e. effectifs théoriques (attendus) sous ?

Comment obtenir les effectifs théoriques ?

• en l'absence de différence de répartitions entre lignes / entre colonnes, les meilleures estimations des proportions de succès / échec sont obtenues à partir des effectifs marginaux.

• s'il n'y a pas de différence entre les groupes, les répartitions en lignes / colonnes sont en moyenne identiques entre elles et identiques à la distribution marginale ligne/colonne

  	Groupe 1	Groupe 2	Total
  Modalité 1	10	5	15
  Modalité 2	84	42	126
  Total	94	47	141

• sous , les répartitions marginales doivent être identiques pour chaque ligne/colonne

• donc l'effectif théorique d'une cellule sous est la valeur attendue sous

• les valeurs attendues obtenues sous sont estimées à partir du produit des marges

• soit une répartition de chaque ligne/colonne au prorata de chaque colonne/ligne

• sous  :

• de façon générale :

  

• Le problème de la comparaison de deux proportions devient le problème de la comparaison de deux répartitions

• qui se ramène à la comparaison de deux tableaux : l'un observé et l'autre théorique

• Comment calculer l'écart entre ces deux tableaux ?

• dans une cellule , « distance » entre effectif observé et effectif théorique :

  

• cette distance par cellule est sommée sur l'ensemble des cellules :

  

• on montre que 

• or une somme de

• En l'absence de différence de répartition (i.e. absence de différence de proportions), les valeurs observées sont égales aux valeurs théoriques sur l'ensemble des cellules

Donc, sous : ,  et

• Si est fausse :

  les écarts sont d'autant plus importants que les distributions diffèrent et donc :

  plus les proportions / répartitions diffèrent

  plus les écarts augmentent

  plus la valeur de augmente

La valeur du sera comparée à une valeur seuil 

_

• : les répartitions en lignes / en colonnes ne diffèrent pas

• : les répartitions en lignes / en colonnes diffèrent

formulation générale, à adapter à chaque cas

• remplir le tableau de contingence

• calculer le nombre de degrés de liberté

• calculer les effectifs théoriques

• calculer la valeur du

• si : on rejette

• sinon, on ne rejette pas