Statistiques de base

(1) cas des grands échantillons : et

On admet qu'un échantillon est grand quand son effectif est supérieur ou égal à 30 ; ceci est partiellement arbitraire.

Dans ce cas ( ), alors la moyenne suit une loi de Gauss. Cela signifie que si l'on pouvait faire un nombre infini d'échantillons dans la même population, alors l'histogramme des moyennes de cette infinité d'échantillons aurait la forme d'une loi normale.

Si on connait la distribution théorique des données dans la population dont on extrait les échantillons, on peut préciser les caractéristiques de la loi de Gauss qui caractérise la moyenne des échantillons : sa moyenne sera et l'écart-type de la moyenne (= erreur-standard) .

Pour la différence de deux moyennes, on a le même résultat dans chaque groupe, soit :

Pour la différence de ces deux moyennes, un résultat similaire s'applique : si il n'y a pas de différence entre les deux groupes, et si on connait la distribution des valeurs dans la population (constituée des deux populations d'intérêt qui sont en fait identiques sous l'hypothèse d'absence de différence), alors la loi de la différence des moyennes suit une loi de Gauss dont les paramètres sont :

Ceci est vrai seulement si les deux échantillons sont indépendants.

La plupart du temps, les ne sont pas connues

Comme et sont grands, on peut remplacer et par leurs valeurs observées et (bonne approximation)

alors, sous l'hypothèse d'égalité des variances :

Il y a ici deux approximations de nature différente :

1. la distribution de par une loi normale

2. celle de la valeur de par

Pour un test bilatéral :

• si on accepte : absence de différence

• si on conclut : différence des moyennes

Et pour un test unitaléral :

• pour alors rejet de si

• pour alors rejet de si

En pratique : on calcule la valeur de (voir formule plus haut et exemple plus loin) et on la compare à la valeur de référence de la loi normale pour le consentie. En général et .